Кафедра математики

ХНПУ імені Г.С. Сковороди

запрошує студентів усіх курсів та спеціальностей

прийняти участь у І етапі Всеукраїнської олімпіади з

   МАТЕМАТИКИ

Розв’язання задач необхідно подати на кафедру математики (кімн. 313-Б, 307-Б) Долговій Оксані Євгеніївні до 8 лютого 2015 р.

Конкурсні роботи слід оформити наступним чином:

     розв’язання кожної задачі повинно міститися на окремому аркуші;

     на кожному аркуші вказати прізвище, ім’я, по-батькові та академічну групу студента;

     усі аркуші скласти у файл.

 


 

ЗАДАЧІ І ЕТАПУ ВСЕУКРАЇНСЬКОЇ ОЛІМПІАДИ З МАТЕМАТИКИ 2015 –2016 рр.

Математичний аналіз

  1. (1 бал). Довести, що функція  дорівнює 0 при  і дорівнює  при .    (Вказівка. При  знайти похідну заданої функції).
  1. (2 бали). Визначити об’єм тора – тіла, одержаного обертанням круга радіуса R навколо осі, що його не перетинає, якщо відстань від центра круга до осі дорівнює d.
  2. (2 бали). Послідовності цілих чисел   і  такі, що   при всіх  . Знайти   .

Геометрія

 

  1. (1 бал)   Точка М0 належить прямій  і є найближчою до кривої . Знайти координати точки М0 і найкоротшу відстань від цієї точки до заданої кривої.
  1. (2бали)   Яку поверхню утворюють центри куль, що дотикаються двох заданих мимобіжних перпендикулярних прямих?

 

 Алгебра

 

  1. (1 бал). Розв’язати рівняння  20х4 + 16у3 + z2 = 2015  в цілих числах.
  1. (2 бали).  Розв’язати систему 
  1. (2 бали). Обчислити   .

 

 Елементарна математика

 

  1. (1 бал)  Довести, що при  виконується нерівність 

.

  1. (2 бали)  Кола  і  з центрами О1 та О2 відповідно перетинаються в точках А і В. Лінія центрів цих кіл перетинає коло  в точці Q, яка не лежить всередині , і коло  – в точці Х, яка лежить всередині . Навколо трикутника О1АХ описали коло , яке перетинає коло  у точці Т (Т ¹ А). Пряма QТ перетинає коло  в точці К
    (К
    ¹ Т). Пряма QВ перетинає коло  в точці Н  (Н ¹ В).

Довести, що:

а) точки Т, Х, В лежать на одній прямій;

б) точки К, Х, Н лежать на одній прямій.